Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích số hữu tỷ \( x \) được định nghĩa là:

\[
x = \frac{3a - 12}{6}
\]

### a) Tìm các giá trị của \( a \) để \( x \) là số âm:

Để \( x \) là số âm, ta có bất phương trình:

\[
\frac{3a - 12}{6} < 0
\]

Nhân cả hai vế với 6 (chú ý rằng 6 là số dương nên dấu không thay đổi):

\[
3a - 12 < 0
\]

Giải bất phương trình trên:

\[
3a < 12 \implies a < 4
\]

Vì \( a \) là số nguyên (\( a \in \mathbb{Z} \)), các giá trị của \( a \) có thể là:

\[
a = \ldots, -1, 0, 1, 2, 3
\]

### b) Tìm các giá trị của \( a \) để \( x \) là số nguyên:

Để \( x \) là số nguyên, ta yêu cầu:

\[
\frac{3a - 12}{6} \text{ là số nguyên}
\]

Điều này tương đương với việc \( 3a - 12 \) cần phải chia hết cho 6. Ta có điều kiện:

\[
3a - 12 \equiv 0 \mod 6
\]

Ta sẽ tìm các modulo:

\[
3a \equiv 12 \mod 6 \implies 3a \equiv 0 \mod 6
\]

Chia cả hai vế cho 3 (chú ý 3 là số nguyên tố với 6 nên việc chia này vẫn hợp lệ), ta có:

\[
a \equiv 0 \mod 2
\]

Điều này có nghĩa là \( a \) phải là số chẵn. Vì \( a \) là số nguyên (\( a \in \mathbb{Z} \)), các giá trị của \( a \) có thể là:

\[
a = \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots
\]

### Kết luận:
- a) Các giá trị của \( a \) để \( x \) là số âm: \( a = \ldots, -1, 0, 1, 2, 3 \)
- b) Các giá trị của \( a \) để \( x \) là số nguyên: \( a = \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots \) (tức là tất cả các số chẵn)