Cho parabol  và đường thẳng

Để giải bài toán này, ta cần biết phương trình của parabol và đường thẳng.

1. Với m = 3:
a) Phương trình của parabol là y = x^2 và phương trình của đường thẳng là y = 3x + 1. Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

\[
\begin{cases}
y = x^2 \\
y = 3x + 1
\end{cases}
\]

b) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (d) và (P):
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x^2 = 3x + 1 \\
y = 3x + 1
\end{cases}
\]

Từ đó, ta tính được tọa độ của M và N.

c) Để tính độ dài đoạn thẳng MN, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz.

2. Để tìm các giá trị của m:
a) Để (d) và (P) tiếp xúc nhau, ta cần giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
y = x^2 \\
y = mx + 1
\end{cases}
\]

b) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt, ta cũng giải hệ phương trình tương tự như trên.

Sau khi giải hệ phương trình, ta sẽ tìm được các giá trị của m để thỏa mãn yêu cầu đề bài.