a) Ta có:
\(\angle BDC = 90^\circ\) (vì BD là đường cao của tam giác ABC)
\(\angle CEB = 90^\circ\) (vì CE là đường cao của tam giác ABC)
Do đó, tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AK và đường tròn (O).
Ta có: \(\angle AKB = 90^\circ\) (do AK là đường đường kính của đường tròn (O))
Vậy, tứ giác ABKC là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABKC ta được:
\(AB \cdot KC + AK \cdot BC = AC \cdot BK\)
Vì KC = BC (vì tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)), BK = AC (vì ABKC là tứ giác nội tiếp)
Nên ta có: \(AB \cdot BC + AK \cdot BC = AC \cdot AC\)
Suy ra: \(AB \cdot BC = AK \cdot BD\)

c) Gọi M là giao điểm của đường thẳng OM và đường thẳng AH.
Ta có: \(\angle OMB = 90^\circ\) (vì OM vuông góc với BC)
\(\angle AMH = 90^\circ\) (vì AH là đường cao của tam giác ABC)
Do đó, OM // AH.