a) Ta có BD là phân giác của tam giác ABC nên ABD = CBD.
Gọi I là giao điểm của đường trung trực của BD và AC.
Ta có IB = ID (đường trung trực của tam giác BCD) và IB = IC (do tam giác BIC cân tại I).
Do đó, tam giác BID cũng cân tại I, nên BI = DI.
Vậy tam giác BED cân tại E.

b) Ta có tam giác BID đồng dạng với tam giác EIA (do cùng có góc BID và AIE).
Tương tự, tam giác BIC đồng dạng với tam giác EIC.
Do đó, tam giác EAB đồng dạng với tam giác EBC.

c) Ta có:
AD = 4cm, CD = 5cm
Áp dụng định lý phân giác ta có:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$
$\frac{AB}{9} = \frac{BD}{5}$
$\frac{AB}{BD} = \frac{9}{5}$
Vậy ta có tam giác EAB đồng dạng với tam giác EBC nên:
$\frac{EA}{EB} = \frac{AB}{BD} = \frac{9}{5}$
Do tam giác BED cân nên $EB = ED$
Vậy ta có:
$\frac{EA}{ED} = \frac{9}{5}$
$EA = \frac{9}{5} \cdot ED$
$EA = \frac{9}{5} \cdot EB$
$EA = \frac{9}{5} \cdot 5$
$EA = 9$
Vậy $ED = 5$ cm.