Chứng minh với mọi số nguyên dương m và n thì mn(m^2 - 1)(n^2 + 2) chia hết cho 9

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ chia ra làm 3 trường hợp:

Trường hợp 1: m ≡ 0 (mod 3) và n ≡ 0 (mod 3)
Khi đó, ta có m = 3a và n = 3b với a, b là số nguyên dương.
Vậy mn(m^2-1)(n^2+2) = 9ab(9a^2-1)(9b^2+2)
Ta thấy rằng 9a^2-1 ≡ 8 (mod 9) và 9b^2+2 ≡ 2 (mod 9)
Do đó, 9ab(9a^2-1)(9b^2+2) ≡ 9ab * 8 * 2 ≡ 0 (mod 9)

Trường hợp 2: m ≡ 1 (mod 3) và n ≡ 1 (mod 3)
Khi đó, ta có m = 3a + 1 và n = 3b + 1 với a, b là số nguyên dương.
Vậy mn(m^2-1)(n^2+2) = (3a + 1)(3b + 1)((3a + 1)^2-1)((3b + 1)^2+2)
= (3a + 1)(3b + 1)(9a^2 + 6a)(9b^2 + 6b + 3)
= 9ab(9a^2 + 6a)(9b^2 + 6b + 3) + 3(9a^2 + 6a)(9b^2 + 6b + 3) + 3(9a^2 + 6a)
Ta thấy rằng 9a^2 + 6a ≡ 0 (mod 9) và 9b^2 + 6b + 3 ≡ 0 (mod 9)
Do đó, mn(m^2-1)(n^2+2) ≡ 0 (mod 9)

Trường hợp 3: m ≡ 2 (mod 3) và n ≡ 2 (mod 3)
Tương tự như trường hợp 2, ta cũng có mn(m^2-1)(n^2+2) ≡ 0 (mod 9)

Vậy với mọi số nguyên dương m và n, mn(m^2-1)(n^2+2) chia hết cho 9.