Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H thuộc BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng: tam giác BED đồng dạng với tam giác ADC. Tính độ dài đoạn BE theo AB = m

a) Ta có:
$\angle AHD = \angle ADH = 90^\circ$ (do $HD=HA$)
$\angle AED = \angle AHD = \angle ADH$
$\angle ADE = \angle ADB + \angle BDE = 90^\circ + \angle BDE = \angle AED$
Vậy tam giác $AED$ đồng dạng với tam giác $ADH$.
Do đó, ta có:
$\frac{BE}{AB} = \frac{DE}{AD} = \frac{HD}{AH}$
$\Rightarrow BE = AB \cdot \frac{HD}{AH} = m$

b) Ta có $M$ là trung điểm của $BE$, nên $BM = ME = \frac{BE}{2} = \frac{m}{2}$.
Do đó, tam giác $BHM$ đồng dạng với tam giác $BEC$.
Vậy $\angle BHM = \angle BEC = \angle AED = \angle AHM$.
$\angle AHM = \angle BHM$

c) Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $AGC$ ta có:
$\frac{GB}{BC} \cdot \frac{CH}{HA} \cdot \frac{AM}{MG} = 1$
$\Rightarrow \frac{GB}{BC} = \frac{HA+HC}{HA} = 1 + \frac{HC}{HA} = 1 + \frac{HD}{AH} = 1 + \frac{BE}{AB} = 1 + \frac{m}{AB}$

Vậy $GB/BC=HD/AH+HC$.