Tìm giá trị nguyên của x để giá trị đa thức 6x^3- 7x^2- 2x+ 4 chia hết cho giá trị đa thức 2x -1

a) Để giá trị đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1, ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1.

Áp dụng định lí chia đa thức, ta có:
6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 = (2x - 1)Q(x) + R
Trong đó, R là số dư, deg(R) < deg(2x - 1) = 1.

Do đó, R = ax + b, với a, b là hằng số cần xác định.

Thực hiện phép chia, ta có:
6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 = (2x - 1)(3x^2 - x - 1) + (5x + 3)

Để R = 5x + 3 chia hết cho 2x - 1, ta cần giải phương trình 5x + 3 = 0, suy ra x = -3/5.

Vậy, giá trị nguyên của x để đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1 là x = -3/5.

b) Ta có phương trình:
(x - 2023) * A(x - 2019) = (x - 2024) * A(x - 2020)

Đặt y = x - 2023, ta có:
(y + 4) * A(y - 4) = (y + 3) * A(y - 3)

Đặt B(y) = A(y - 3), ta có:
(y + 4) * B(y + 1) = (y + 3) * B(y)

Ta thấy B(y) thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle, do đó tồn tại ít nhất 1 điểm cực trị của B(y) trên đoạn [-4, -3]. Vì vậy, đa thức A(x) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trên đoạn [2019, 2023].