Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

a) Ta có: $\dfrac{BD}{DA} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = 1$

Vì $AD = AE$, nên $\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{EC}{AE}$

Do đó, $\dfrac{BD}{DA} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = \dfrac{EC}{AE} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = \dfrac{CI}{IB} = 1$

Vậy ta có $IB = IC$, hay $BE = CD$.

b) Ta có: $\dfrac{BD}{DA} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = 1$

Vì $AD = AE$, nên $\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{EC}{AE}$

Do đó, $\dfrac{BD}{DA} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = \dfrac{EC}{AE} \cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CI}{IB} = \dfrac{CI}{IB} = 1$

Vậy ta có $IB = IC$, hay góc $EBC = DCB$.

c) Vì $BE = CD$ và $IB = IC$, nên ta có $DE \parallel BC$.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.