Cho tam giác ABC vuông tại A

Ta có:
- $\widehat{MNC} = 90^{\circ}$ (do $MC$ là đường kính của đường tròn $(MNC)$)
- $\widehat{MBC} = \widehat{MDC}$ (cùng chắn cung $MC$)
- $\widehat{MCD} = \widehat{MBC}$ (cùng chắn cung $MD$)
- $\widehat{MCD} = \widehat{MDC}$ (do tam giác $MCD$ cân tại $M$)
Vậy tam giác $MCD$ vuông tại $M$.
Do đó, ta có: $OM^2 = OC^2 + MC^2$ (theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $OMC$)
Mà $OC = ON$ (vì $OC$ và $ON$ là bán kính của đường tròn $(MNC)$)
Vậy $OM^2 = ON^2 + MC^2 = ON.OC + MC^2 = ON.OC + ON^2 = ON.(ON + OC) = ON.OC$
Vậy ta đã chứng minh được $OM^2 = ON.OC$.