Giải:

a. Ta có: AD = AB/3 = 2cm.

Do đó, ta có: BD = AB - AD = 6cm - 2cm = 4cm.

Đồng thời, ta có: DH // AB (vì DH vuông góc với BC và BC // AD).

Vậy, ta có: ∠HBD = ∠ABC (cùng chắn cung HD trên cùng đường tròn).

Và: ∠HDB = ∠ACB (cùng chắn cung HD trên cùng đường tròn).

Vậy, ta chứng minh được ∆ABC đồng dạng với ∆HBD.

b. Ta có: BC = AC - AB = 8cm - 6cm = 2cm.

Vì ∆ABC đồng dạng với ∆HBD nên ta có:

HB/AB = HD/AD = BD/BC

⇒ HB/6 = HD/2 = 4/2

⇒ HB = 6 x 4/2 = 12cm

⇒ HD = 2 x 4/2 = 4cm

⇒ HC = BC + CH = 2cm + 4cm = 6cm

c. Gọi S là diện tích của tam giác, ta có:

S(∆AKD)/S(∆ABC) = (AK x AD)/(AB x AC) = (AK x 2)/(6 x 8) = AK/24

Áp dụng định lí cô-sin trong tam giác ADH, ta có:

AK = AD x cos ∠DAH = 2 x cos ∠DAH

Do DH vuông góc với BC nên ∠DAH = ∠HDC

Áp dụng định lí cô-sin trong tam giác HDC, ta có:

cos ∠HDC = HC/HD = 6/4 = 3/2

Vậy: AK = 2 x 3/2 = 3cm

Vậy: S(∆AKD)/S(∆ABC) = 3/24 = 1/8

Vậy tỉ số diện tích của ∆AKD và ∆ABC là 1/8.