ài 5:

a) Chứng minh ∆AHB = ∆AHC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên:

• AB = AC (1)
• Góc ABC = góc ACB (2)

Xét tam giác AHB và tam giác AHC có:

• Cạnh AH chung
• AB = AC (từ (1))
• Góc AHB = góc AHC (từ (2) và AH ⊥ BC)

Vậy tg AHB = tgAHC (c.g.c)

Suy ra:

• HB = HC
• Góc BAH = góc CAH

Do đó, AH là tia phân giác của góc BAC.

b) Chứng minh AH vuông góc với MN

Xét tgAHM và tgAHN có:

• AH chung
• Góc AHM = góc AHN (= 90 độ)
• AM = AN (vì AH là tia phân giác của góc BAC)

Vậy tgAHM = tgAHN (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: HM = HN

Do đó, AH là đường trung trực của MN.

Vậy AH vuông góc với MN.

c) Chứng minh P, Q, K thẳng hàng

Vì H là trung điểm của MP nên HP = HM.

Xét tgHMP và tgHNP có:

• HP = HN (cmt)
• MH = NH (cmt)
• NP chung

Vậy tgHMP = tgHNP (c.c.c)

Suy ra: góc MHP = góc NHP = 90 độ.

Do đó, PQ ⊥ MH và PQ ⊥ NH.

Mà AH ⊥ MN nên PQ // AH (1)

Ta lại có: K ∈ MN và AH ⊥ MN nên K ∈ PQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PQ đi qua điểm K.

Vậy P, Q, K thẳng hàng.