Cho tam giác ABC nhọn và AB

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Trong tam giác vuông, đường phân giác góc nhọn luôn lớn hơn đường vuông góc với cạnh huyền.
2. Trong tam giác vuông, đường phân giác góc nhọn luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác.

a. Ta có: CM = BM = MC (do M là trung điểm của BC) và AH = 2HM (do H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống tia phân giác của góc BAC). Vậy ta có CM: AH = BM: HM = 2:1. Do đó, đường thẳng đi qua trung điểm của BD sẽ đi qua trung điểm của CM, tức là đi qua trung điểm của BD.

b. Ta có: BM = MC, do M là trung điểm của BC. Do đó, ta có BE = CF = DF (vì MH là đường phân giác của tam giác BEF).

c. Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại M và tia AH. Ta có: IB = IM và IC = IM (do đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC tại D). Vậy ta có IB + IC = 2IM. Ta cũng có IE + IF = 2IM (do MH là đường phân giác của tam giác BEF). Vậy ta có IB + IC = IE + IF, suy ra IB + IC > IE + IF.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.