a) Ta có:
$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABC = \angle AHB$
$\angle ABH = \angle A + \angle ABC = \angle B$
Vậy $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ theo góc.

b) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC:
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} cm$
$BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{7}}{12} = \frac{27\sqrt{7}}{12} = \frac{9\sqrt{7}}{4} cm$

c) Ta có:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 9^2 - \left(\frac{9\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 81 - \frac{81 \cdot 7}{16} = 81 - \frac{567}{16} = \frac{1296 - 567}{16} = \frac{729}{16} = \left(\frac{9\sqrt{7}}{4}\right)^2 = BH \cdot CH$

d) Gọi I là giao điểm của BM và AN. Ta có:
$\angle BAI = \angle HAC = \angle HNC$
$\angle ABI = \angle HAB = \angle HMB$
Vậy $\Delta ABI \sim \Delta HNC$ theo góc, từ đó ta có $\angle BIM = \angle HIN$.
Do đó, ta có $\angle BIM + \angle HIN = 180^\circ$, suy ra BM vuông góc AN.