Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng.

Ta có:
$\frac{HB}{AB} = \frac{BH}{BC}$ (do tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA)
$\frac{HB}{AB} = \frac{BH}{BC} = \frac{BH}{BH + HC}$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\frac{HB}{AB} = \frac{BH}{BH + HC} = \frac{BH}{BH + 2 \cdot IK}$ (do I là trung điểm của HB và K là trung điểm của HC)
$\frac{HB}{AB} = \frac{BH}{BH + 2 \cdot IK} = \frac{BH}{BH + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot BH} = \frac{BH}{BH + BH} = \frac{1}{2}$

Vậy ta đã chứng minh được tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA với tỉ số đồng dạng là 1:2.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng đường thẳng EK song song với đường BC.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
$\frac{EK}{HK} = \frac{EM}{HM} = \frac{1}{2}$ (do K là trung điểm của HC và M là trung điểm của BC)
$\frac{EK}{HK} = \frac{1}{2}$

Vậy ta đã chứng minh được rằng đường thẳng EK song song với đường BC.