a) Ta có:

Góc MCA bằng góc MBA (cùng bằng góc ngoài của tam giác AOB).
Góc MCD bằng góc MBD (cùng bằng góc ngoài của tam giác OBD).
Do đó, ta có hai tam giác MCA và MBA đồng dạng, và hai tam giác MCD và MBD đồng dạng.
Từ đó, ta có MC/MA = MB/MD.
Vì AM = OB và BM = OA (do A nằm giữa M và????, nên ta có MA.MB = OA.OB = R^2 (vì O là tâm đường tròn).
Từ đó, ta có MC? = MA.MB.
b) Ta có:

Góc KCB bằng góc CAB (cùng bằng góc nội tiếp trên cùng đường tròn BCKA).
Góc KBC bằng góc CBD (cùng bằng góc ngoài của tam giác OBD).
Góc MCD bằng góc MBD (đã chứng minh ở câu a).
Do đó, ta có góc KCM bằng góc KDM.
Vậy, tức là B, C, M, K đều nằm trên một đường tròn.
c) Ta có:

Góc CMD bằng 60°.
Góc MCD bằng góc MBD (đã chứng minh ở câu a).
Góc BMD bằng góc BAC (cùng bằng góc nội tiếp trên cùng đường tròn BCKA).
Vì tam giác OMB đều, nên ta có BM = R.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MBD, ta có:
BD^2 = BM^2 + MD^2 - 2BM.MD.cos(MBD)
BD^2 = R^2 + MD^2 - 2R.MD.cos(MCD)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MBC, ta có:
BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2BM.MC.cos(MCB)
BC^2 = R^2 + MC^2 - 2R.MC.cos(MCA)

Từ đó, ta có:
BD^2 - BC^2 = MD^2 - MC^2 - 2R.(MD.cos(MCD) - MC.cos(MCA))
BD^2 - BC^2 = MD^2 - MC^2 - 2R.sin(MCD - MCA)

Vì B, C, M, K đều nằm trên một đường tròn, nên góc MCD bằng góc MKB (cùng bằng góc ngoài của tam giác BDK), và góc MCA bằng góc MKC (cùng bằng góc ngoài của tam giác CKD).
Do đó, ta có sin(MCD - MCA) = sin(MKB - MKC) = sin(BKC - 60°) =