Để chứng minh rằng phân số 12n+1/30n+2 là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số là 1.

Ta có phân số 12n+1/30n+2. Để tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số, ta cần tìm ước chung lớn nhất của 12n+1 và 30n+2.

Ta có:
12n+1 = 1(30n+2) - 18n-1
30n+2 = 18n+1 + 12n+1

Do đó, ước chung lớn nhất của 12n+1 và 30n+2 cũng chính là ước chung lớn nhất của 18n+1 và 12n+1.

Để chứng minh rằng ước chung lớn nhất của 18n+1 và 12n+1 là 1, ta sẽ sử dụng định lí Euclid.

Giả sử rằng d là ước chung lớn nhất của 18n+1 và 12n+1. Khi đó, d cũng là ước chung lớn nhất của 6n và 12n+1.

Ta có:
12n+1 = 2(6n) + 1

Do đó, d cũng là ước chung lớn nhất của 6n và 1. Vì 6n và 1 không có ước chung nào ngoài 1, nên d = 1.

Vậy, phân số 12n+1/30n+2 là phân số tối giản.