Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O có các đường cao BE, CF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt EF tại P

a, Ta có:
CM là đường cao của tam giác ABC nên CM vuông góc với AB, suy ra CM // EF (do EF cũng vuông góc với AB).
M là trung điểm của BC nên MN // BC và MN = 1/2 BC.
Do đó, ta có tứ giác MNPC là hình chữ nhật nên CM = PN.
Vậy CM : MN = MN : PC, suy ra CM : MN = MN : PC.

b, Ta có:
Từ tỷ lệ CM : MN = MN : PC (đã chứng minh ở câu a), ta có:
CM.MN = MN.PC
Với tứ giác EFPC nội tiếp, ta có:
PE.PF = PC.PN
Do đó, PC^2 = PE.PF.