Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Kẻ đường kính CD vuông góc với dây cung AB tại điểm M (điểm C thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BD lấy điểm E. Gọi H là giao điểm của CE và AB

Ta có:
- Vì CD vuông góc với AB tại M nên tam giác ABC vuông tại B.
- Vì AE song song với MF nên tam giác AEF và tam giác MFB đồng dạng.
- Vì AB song song với FK nên tam giác ABK và tam giác FKB đồng dạng.
- Vì AB song song với FK và AE song song với MF nên tam giác ABK và tam giác FEM đồng dạng.
- Vì tam giác ABK và tam giác FEM đồng dạng nên ta có: $\frac{AB}{FK} = \frac{EM}{MF}$.
- Vì tam giác AEF và tam giác MFB đồng dạng nên ta có: $\frac{AE}{MF} = \frac{EF}{FB}$.
- Kết hợp hai biểu thức trên, ta có: $\frac{AB}{FK} = \frac{EM}{MF} = \frac{AE}{MF} = \frac{EF}{FB}$.
- Từ đó suy ra: $\frac{AB}{FK} = \frac{EF}{FB}$ hay $\frac{AB}{EF} = \frac{FK}{FB}$.
- Vậy ta có tam giác ABE và tam giác KBF đồng dạng.
- Từ đó suy ra: $\angle ABE = \angle KBF$ hay $\angle ABD = \angle KBF$.
- Vậy ta có: $\angle ABD = \angle KBF = \angle KDF$.
- Vậy ta có: DF vuông góc với AE.
- Vì tam giác ABE và tam giác KBF đồng dạng nên ta có: $\frac{AB}{AE} = \frac{KB}{KF}$.
- Từ đó suy ra: $\frac{AB}{AE} = \frac{KB}{KF} = \frac{BK}{KE}$.
- Vậy ta có tam giác ABE và tam giác KBF đồng dạng.
- Từ đó suy ra: $\angle AEB = \angle KFB$ hay $\angle AEB + \angle AFB = 180^\circ$.
- Vậy ta có: $\angle AFB = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - \angle ADB$.
- Vậy ta có: $\angle AFB + \angle ADB = 180^\circ$ hay D, E, K thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được DF vuông góc với AE và ba điểm D, E, K thẳng hàng.