Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

**Phần a: Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp**

Để chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

1. Xét tam giác ABC vuông cân tại C, nội tiếp đường tròn O. Do đó, góc ACB = 90 độ.
2. D là một điểm tùy ý thuộc cung nhỏ AC, do đó góc ADC = góc ABC = 45 độ (vì tam giác ABC vuông cân tại C).
3. Kẻ EF vuông góc với AB tại F, do đó góc EFA = 90 độ.

Ta có:
- Góc ADE = góc ADC = 45 độ (vì D thuộc cung nhỏ AC).
- Góc AEF = 90 độ (vì EF vuông góc với AB).

Tổng của hai góc ADE và AEF là:
\[ \angle ADE + \angle AEF = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \]

Do đó, góc DEF phải bằng 45 độ để tổng của hai góc đối diện trong tứ giác ADEF bằng 180 độ:
\[ \angle DEF = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]

Vậy tứ giác ADEF nội tiếp.

**Phần b: Tính KDF và KF.KO = KA.KB**

1. Xét tam giác vuông cân ABC tại C, nội tiếp đường tròn O. Do đó, AB là đường kính của đường tròn O.
2. K là giao điểm của AB và CD. Vì tam giác ABC vuông cân tại C, nên CD là đường cao từ C xuống AB, do đó K là trung điểm của AB.

Ta có:
\[ KA = KB \]

3. Kẻ EF vuông góc với AB tại F, do đó F là chân đường cao từ E xuống AB.

4. Xét tam giác vuông KDF, ta có:
\[ \angle KDF = 90^\circ \]

5. Do K là trung điểm của AB, nên:
\[ KA = KB \]

6. Ta cần chứng minh:
\[ KF \cdot KO = KA \cdot KB \]

Vì K là trung điểm của AB và AB là đường kính của đường tròn O, nên:
\[ KO = \frac{AB}{2} \]

Do đó:
\[ KF \cdot KO = KF \cdot \frac{AB}{2} \]

Vì KA = KB, nên:
\[ KA \cdot KB = KA^2 \]

Vậy ta cần chứng minh:
\[ KF \cdot \frac{AB}{2} = KA^2 \]

Do K là trung điểm của AB, nên:
\[ KA = \frac{AB}{2} \]

Do đó:
\[ KF \cdot \frac{AB}{2} = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \]

Vậy ta có:
\[ KF \cdot \frac{AB}{2} = \frac{AB^2}{4} \]

\[ KA^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4} \]

Vậy:
\[ KF \cdot KO = KA \cdot KB \]

**Phần c: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ AC**

1. Qua F vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD và CD tại M và N.

2. Do F là chân đường cao từ E xuống AB, và EF vuông góc với AB, nên EF là đường cao của tam giác ADEF.

3. Khi D thay đổi trên cung nhỏ AC, điểm E cũng thay đổi theo, nhưng F luôn là chân đường cao từ E xuống AB, do đó F là điểm cố định.

4. Vì đường thẳng qua F song song với CD, nên M và N cũng thay đổi theo D.

5. Tuy nhiên, do tam giác KMN có K là trung điểm của AB và F là điểm cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN luôn đi qua điểm cố định F.

Vậy, đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ AC.