Cho tam giác ABC vuông tại A có AB nhỏ hơn AC, N là trung điểm của BC. Gọi M và P lần lượt là hình chiếu của N trên AB và AC, lấy điểm a sao cho b là trung điểm của ME

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện một số phân tích và chứng minh dựa trên các định nghĩa và tính chất của hình học phẳng.

1. **Xác định các điểm trong tam giác**:
- Gọi \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(0,b) \) trong hệ tọa độ với \( AB < AC \), tức là \( a < b \).
- Tọa độ điểm \( N \) (trung điểm của \( BC \)) sẽ là:
\[
N\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

2. **Hình chiếu của N trên AB và AC**:
- Hình chiếu của \( N \) trên \( AB \) là \( M \), có tọa độ:
\[
M\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- Hình chiếu của \( N \) trên \( AC \) là \( P \), có tọa độ:
\[
P\left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

3. **Xác định điểm \( E \)**:
- \( E \) được gọi là điểm sao cho \( B \) là trung điểm của đoạn thẳng \( ME \).
- Theo tính chất của trung điểm, ta có:
\[
B\left(a, 0\right) = \left(\frac{\frac{a}{2} + e_x}{2}, \frac{0 + e_y}{2}\right)
\]
- Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[
a = \frac{\frac{a}{2} + e_x}{2} \quad \text{và} \quad 0 = \frac{0 + e_y}{2}
\]
- Giải hệ trên, ta được \( e_y = 0 \) và \( e_x = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} \). Vậy:
\[
E\left(\frac{3a}{2}, 0\right)
\]

4. **Xét tứ giác \( AMCE \)**:
- Tọa độ các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( C(0, b) \)
- \( E\left(\frac{3a}{2}, 0\right) \)

5. **Kiểm tra hình dạng của tứ giác**:
- Các điểm \( A \), \( M \), \( E \) nằm trên đường thẳng \( y = 0 \).
- Điểm \( C \) nằm trên đường thẳng \( x = 0 \).
- Vì \( M \) nằm giữa \( A \) và \( E \), nên tứ giác \( AMCE \) là một hình tứ giác với 2 điểm trên trục hoành và 2 điểm trên trục tung.
- Hơn nữa, các đoạn nối \( AM \), \( ME \), và \( AC \) tạo thành hai đoạn thẳng vuông góc với nhau.

6. **Kết luận**:
- Tứ giác \( AMCE \) có đặc điểm là \( AM \) và \( AC \) vuông góc và đều ở cùng một phía với nhau, vì vậy có thể kết luận rằng \( AMCE \) là một **hình chữ nhật**.

Chúc mừng, bạn đã tìm ra hình dạng của tứ giác \( AMCE \) là một hình chữ nhật.