Để rút gọn biểu thức \((3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{64}+1)+1\), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của số học và lũy thừa.

Biểu thức ban đầu là:
\[
(3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{64}+1)+1
\]

Chúng ta nhận thấy rằng các số hạng trong dấu ngoặc đều có dạng \(3^{2^k} + 1\) với \(k\) là các số nguyên không âm. Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ sử dụng một phép biến đổi đặc biệt liên quan đến các lũy thừa của 3.

Hãy xem xét biểu thức tổng quát:
\[
(3^{2^0} + 1)(3^{2^1} + 1)(3^{2^2} + 1)...(3^{2^n} + 1)
\]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng:
\[
(3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{2^n}+1) = 3^{2^{n+1}} + 1
\]

Chứng minh điều này bằng quy nạp:

1. Cơ sở quy nạp: Với \(n = 0\),
\[
(3^{2^0} + 1) = 3 + 1 = 4 = 3^{2^1} + 1
\]

2. Giả thiết quy nạp: Giả sử đúng với \(n = k\),
\[
(3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{2^k}+1) = 3^{2^{k+1}} + 1
\]

3. Bước quy nạp: Với \(n = k+1\),
\[
(3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{2^k}+1)(3^{2^{k+1}}+1)
\]
Theo giả thiết quy nạp, ta có:
\[
= (3^{2^{k+1}} + 1)(3^{2^{k+1}} + 1)
\]
\[
= 3^{2^{k+2}} + 1
\]

Do đó, biểu thức ban đầu có thể được viết lại như sau:
\[
(3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{64}+1) = 3^{2^{7}} + 1 = 3^{128} + 1
\]

Cuối cùng, cộng thêm 1 vào kết quả:
\[
3^{128} + 1 + 1 = 3^{128} + 2
\]

Vậy biểu thức rút gọn của \((3+1)(3^2+1)(3^4+1)...(3^{64}+1)+1\) là:
\[
3^{128} + 2
\]