Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x^2 + 5x + m - 2 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện biểu thức đạt giá trị lớn nhất, ta cần xem xét biểu thức đó là gì. Giả sử biểu thức cần tìm là \( P = x_1 + x_2 \) hoặc \( P = x_1 x_2 \).

Trước hết, ta cần điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình bậc hai \( x^2 + 5x + m - 2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 5 \), và \( c = m - 2 \). Do đó:

\[
\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) = 25 - 4(m - 2) = 25 - 4m + 8 = 33 - 4m > 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
33 - 4m > 0 \implies 4m < 33 \implies m < \frac{33}{4} = 8.25
\]

Vậy, điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \( m < 8.25 \).

Tiếp theo, ta xét các biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất.

1. **Tổng các nghiệm \( x_1 + x_2 \)**:
Theo định lý Viète, tổng các nghiệm của phương trình bậc hai là:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5
\]

Tổng các nghiệm không phụ thuộc vào \( m \), do đó không có giá trị lớn nhất nào cần tìm ở đây.

2. **Tích các nghiệm \( x_1 x_2 \)**:
Theo định lý Viète, tích các nghiệm của phương trình bậc hai là:

\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 2}{1} = m - 2
\]

Để \( x_1 x_2 \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( m - 2 \) lớn nhất trong khoảng \( m < 8.25 \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( m - 2 \) là khi \( m \) tiến gần đến 8.25:

\[
m - 2 \rightarrow 8.25 - 2 = 6.25
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( x_1 x_2 \) là 6.25 khi \( m \) tiến gần đến 8.25.