Để hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) song song với nhau, hệ số góc của chúng phải bằng nhau.

Đường thẳng \((d)\) có phương trình: \( y = (m^2 + 1)x + 5 \). Hệ số góc của \((d)\) là \( m^2 + 1 \).

Đường thẳng \((d')\) có phương trình: \( y = 3x + m + 3 \). Hệ số góc của \((d')\) là \( 3 \).

Để \((d)\) và \((d')\) song song với nhau, ta có:
\[ m^2 + 1 = 3 \]

Giải phương trình này:
\[ m^2 + 1 = 3 \]
\[ m^2 = 3 - 1 \]
\[ m^2 = 2 \]
\[ m = \pm \sqrt{2} \]

Vậy, giá trị của \( m \) để hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) song song với nhau là \( m = \sqrt{2} \) hoặc \( m = -\sqrt{2} \).