Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là một số nguyên, ta bắt đầu với biểu thức:

\[ A = \frac{x + 3}{x - 2} \]

Để \( A \) là một số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Điều này có nghĩa là \( x + 3 \) phải chia hết cho \( x - 2 \).

Ta đặt \( k \) là một số nguyên sao cho:

\[ \frac{x + 3}{x - 2} = k \]

Từ đó, ta có phương trình:

\[ x + 3 = k(x - 2) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x + 3 = kx - 2k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử còn lại về vế kia:

\[ x - kx = -2k - 3 \]

\[ x(1 - k) = -2k - 3 \]

\[ x = \frac{-2k - 3}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì biểu thức \(\frac{-2k - 3}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - k \) phải là một ước của \(-2k - 3\).

Xét các giá trị của \( k \):

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ x = \frac{-2(1) - 3}{1 - 1} = \frac{-2 - 3}{0} \]

Điều này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( k = 2 \):

\[ x = \frac{-2(2) - 3}{1 - 2} = \frac{-4 - 3}{-1} = \frac{-7}{-1} = 7 \]

3. Nếu \( k = 0 \):

\[ x = \frac{-2(0) - 3}{1 - 0} = \frac{-3}{1} = -3 \]

4. Nếu \( k = -1 \):

\[ x = \frac{-2(-1) - 3}{1 - (-1)} = \frac{2 - 3}{2} = \frac{-1}{2} \]

Điều này không phải là số nguyên.

5. Nếu \( k = -2 \):

\[ x = \frac{-2(-2) - 3}{1 - (-2)} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3} \]

Điều này không phải là số nguyên.

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng chỉ có \( k = 2 \) và \( k = 0 \) cho giá trị \( x \) nguyên. Vậy các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là một số nguyên là:

\[ x = 7 \quad \text{và} \quad x = -3 \]