Để chứng minh các kết quả đã nêu, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của tam giác đồng dạng và các đường vuông góc.

### 1) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACE và \( AB \cdot AE = AH \cdot AC \)

- Xét tam giác \( ABH \) và tam giác \( ACE \):
- \( \angle AHB = \angle AEC = 90^\circ \) (do \( CE \perp AB \) và \( BH \perp AC \)).
- \( \angle BAH = \angle CAE \) (góc chung).

Do đó, tam giác \( ABH \) đồng dạng với tam giác \( ACE \) theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AE}
\]
Suy ra:
\[
AB \cdot AE = AH \cdot AC
\]

### 2) Chứng minh tam giác IEB đồng dạng với tam giác ICH

- Xét tam giác \( IEB \) và tam giác \( ICH \):
- \( \angle IEB = \angle ICH \) (cùng bằng \( 90^\circ \) do \( HE \perp AB \) và \( BH \perp AC \)).
- \( \angle EBI = \angle HCI \) (góc đối đỉnh).

Do đó, tam giác \( IEB \) đồng dạng với tam giác \( ICH \) theo trường hợp góc-góc (AA).

### 3) Chứng minh \( BH \cdot BH = HK \cdot HQ \)

- Xét tam giác \( BHK \) và tam giác \( BHQ \):
- \( \angle BHK = \angle BHQ \) (góc chung).
- \( \angle BKH = \angle BQH \) (góc vuông do \( BH \perp AC \)).

Do đó, tam giác \( BHK \) đồng dạng với tam giác \( BHQ \) theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BH}{BH} = \frac{HK}{HQ}
\]
Suy ra:
\[
BH \cdot BH = HK \cdot HQ
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các kết quả cần thiết.