Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra điều kiện của hệ số \( m \) sao cho định thức của ma trận hệ số khác 0.

Xét hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + 2my = m - 7 \\
5x - my = 2m + 1
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\[
\begin{cases}
x + 2my = m - 7 \\
5x - my = 2m + 1
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2m \\
5 & -m
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận \( A \) là:
\[
\det(A) = 1 \cdot (-m) - 2m \cdot 5 = -m - 10m = -11m
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần \(\det(A) \neq 0\):
\[
-11m \neq 0 \implies m \neq 0
\]

Bây giờ, ta cần tìm \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( 2x - 3y = 1 \).

Giả sử nghiệm của hệ phương trình là \((x, y)\). Ta có:
\[
\begin{cases}
x + 2my = m - 7 \\
5x - my = 2m + 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp Cramer. Ta có các định thức:
\[
\Delta = \det(A) = -11m
\]

\[
\Delta_x = \begin{vmatrix}
m - 7 & 2m \\
2m + 1 & -m
\end{vmatrix} = (m - 7)(-m) - (2m)(2m + 1) = -m^2 + 7m - 4m^2 - 2m = -5m^2 + 5m
\]

\[
\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & m - 7 \\
5 & 2m + 1
\end{vmatrix} = 1(2m + 1) - 5(m - 7) = 2m + 1 - 5m + 35 = -3m + 36
\]

Nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-5m^2 + 5m}{-11m} = \frac{5m^2 - 5m}{11m} = \frac{5m(m - 1)}{11m} = \frac{5(m - 1)}{11}
\]

\[
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-3m + 36}{-11m} = \frac{3m - 36}{11m}
\]

Thay vào phương trình \( 2x - 3y = 1 \):
\[
2 \left( \frac{5(m - 1)}{11} \right) - 3 \left( \frac{3m - 36}{11m} \right) = 1
\]

\[
\frac{10(m - 1)}{11} - \frac{3(3m - 36)}{11m} = 1
\]

\[
\frac{10m - 10}{11} - \frac{9m - 108}{11m} = 1
\]

\[
\frac{10m - 10}{11} - \frac{9m - 108}{11m} = 1
\]

Nhân cả hai vế với \( 11m \):
\[
m(10m - 10) - (9m - 108) = 11m
\]

\[
10m^2 - 10m - 9m + 108 = 11m
\]

\[
10m^2 - 30m + 108 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
m^2 - 3m + 10.8 = 0
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10.8 = 9 - 43.2 = -34.2 < 0\).

Vậy không có giá trị \( m \) nào thỏa mãn điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( 2x - 3y = 1 \).