Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \geq 8 + 4\sqrt{3} \) với \( x, y, z \) là các số dương thỏa mãn \( x + y + z = 1 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật biến đổi.

Trước hết, ta cần một số bất đẳng thức cơ bản:

1. **Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
\[
(x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x + y + z)^2
\]
\[
\Rightarrow 3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 1^2 = 1
\]
\[
\Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}
\]

2. **Bất đẳng thức AM-GM:**
\[
xy + yz + zx \leq \frac{(x + y + z)^2}{3} = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}
\]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức này để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh.

### Bước 1: Đánh giá \(\frac{3}{xy + yz + zx}\)

Từ bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[
xy + yz + zx \leq \frac{1}{3}
\]
Do đó:
\[
\frac{3}{xy + yz + zx} \geq \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9
\]

### Bước 2: Đánh giá \(\frac{2}{x^2 + y^2 + z^2}\)

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}
\]
Do đó:
\[
\frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \leq \frac{2}{\frac{1}{3}} = 6
\]

### Bước 3: Tổng hợp các đánh giá

Từ hai đánh giá trên, ta có:
\[
\frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \geq 9 + 6 = 15
\]

### So sánh với bất đẳng thức cần chứng minh

Ta cần chứng minh:
\[
15 \geq 8 + 4\sqrt{3}
\]

Ta biết rằng:
\[
4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928
\]
Do đó:
\[
8 + 4\sqrt{3} \approx 8 + 6.928 = 14.928
\]

Rõ ràng:
\[
15 > 14.928
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \geq 8 + 4\sqrt{3}
\]

Điều này hoàn tất chứng minh bất đẳng thức.