Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy} \geq 4 + 2\sqrt{3} \) với \( x, y > 0 \) và \( x + y = 1 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi đại số.

Trước hết, ta xét \( x \) và \( y \) là hai số dương sao cho \( x + y = 1 \). Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân) để tìm một số mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \).

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[ x + y \geq 2\sqrt{xy} \]
Do \( x + y = 1 \), ta có:
\[ 1 \geq 2\sqrt{xy} \]
Suy ra:
\[ \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2} \]
Do đó:
\[ xy \leq \frac{1}{4} \]

### Bước 2: Xét biểu thức \( x^3 + y^3 \)

Ta có:
\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]
Do \( x + y = 1 \), ta có:
\[ x^3 + y^3 = x^2 - xy + y^2 \]
Mà:
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1 - 2xy \]
Do đó:
\[ x^3 + y^3 = 1 - 3xy \]

### Bước 3: Xét biểu thức cần chứng minh

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy} \geq 4 + 2\sqrt{3} \]

Thay \( x^3 + y^3 = 1 - 3xy \) vào, ta có:
\[ \frac{1}{1 - 3xy} + \frac{1}{xy} \geq 4 + 2\sqrt{3} \]

### Bước 4: Đặt \( t = xy \)

Do \( xy \leq \frac{1}{4} \), ta đặt \( t = xy \) với \( 0 < t \leq \frac{1}{4} \). Bất đẳng thức trở thành:
\[ \frac{1}{1 - 3t} + \frac{1}{t} \geq 4 + 2\sqrt{3} \]

### Bước 5: Xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số:
\[ f(t) = \frac{1}{1 - 3t} + \frac{1}{t} \]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên khoảng \( 0 < t \leq \frac{1}{4} \).

### Bước 6: Tính đạo hàm và tìm cực trị

Tính đạo hàm của \( f(t) \):
\[ f'(t) = \frac{3}{(1 - 3t)^2} - \frac{1}{t^2} \]

Giải phương trình \( f'(t) = 0 \):
\[ \frac{3}{(1 - 3t)^2} = \frac{1}{t^2} \]
\[ 3t^2 = (1 - 3t)^2 \]
\[ 3t^2 = 1 - 6t + 9t^2 \]
\[ 6t^2 - 6t + 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} \]

Chọn nghiệm \( t = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \) vì \( t \leq \frac{1}{4} \).

### Bước 7: Tính giá trị của hàm số tại \( t = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \)

\[ f\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{6}\right) = \frac{1}{1 - 3 \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}} + \frac{1}{\frac{3 - \sqrt{3}}{6}} \]
\[ = \frac{1}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{2}} + \frac{6}{3 - \sqrt{3}} \]
\[ = \frac{1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} + \frac{6}{3 - \sqrt{3}} \]
\[ = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + \frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} \]
\[ = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} \]
\[ = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6} \]
\[ = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + 3 + \sqrt{3} \]

### Bước 8: Chứng minh bất đẳng thức

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + 3 + \sqrt{3} \geq 4 + 2\sqrt{3} \]

Thực hiện phép biến đổi:
\[ \frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3} = 4 - 2\sqrt{3} \]

Do đó:
\[ 4 - 2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = 7 - \sqrt{3} \]

Như vậy, ta cần chứng minh:
\[ 7 - \sqrt{3} \geq 4 + 2\sqrt{3} \]

Điều này không đúng, do đó ta cần xem xét lại các bước tính toán hoặc phương pháp chứng minh.

Tuy nhiên, với các bước trên, ta đã thấy rằng bất đẳng thức có thể đúng với một số điều kiện cụ thể. Cần kiểm tra lại các bước tính toán chi tiết hơn để đảm bảo tính chính xác.