Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác đồng dạng, đường phân giác, và các đường vuông góc. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh từng phần:

### a) Chứng minh: Hai tam giác DAB và ACB đồng dạng.

Để chứng minh hai tam giác DAB và ACB đồng dạng, ta sử dụng các góc tương ứng.

- Tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°.
- Đường cao AD vuông góc với BC, nên góc DAB = góc BAC = 90°.

Xét tam giác DAB và tam giác ACB:
- Góc DAB = góc BAC = 90°.
- Góc ADB và góc ACB là góc phụ nhau (cùng cộng lại bằng 90°).

Do đó, tam giác DAB và tam giác ACB có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

### b) Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại E. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BE tại F. Chứng minh: AE.AB = EC.BD.

Để chứng minh AE.AB = EC.BD, ta sử dụng định lý đường phân giác và tính chất của tam giác vuông.

- Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại E, theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]

- Gọi BD là đường cao từ D đến BC, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BD}
\]

- Nhân chéo hai vế của phương trình trên, ta được:
\[
AE \cdot BD = EC \cdot AB
\]

### c) Kẻ FH vuông góc với AC tại H. Chứng minh: góc BCF = góc HFC.

Để chứng minh góc BCF = góc HFC, ta sử dụng tính chất của các góc vuông và tam giác vuông.

- FH vuông góc với AC tại H, nên góc FHC = 90°.
- BE vuông góc với CF tại F, nên góc BFC = 90°.

Xét tam giác vuông CFH:
- Góc HFC = 90° - góc HCF.

Xét tam giác vuông BCF:
- Góc BCF = 90° - góc BFC.

Do đó, góc BCF = góc HFC.

### d) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: Ba điểm I, H, F thẳng hàng.

Để chứng minh ba điểm I, H, F thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của trung điểm và các đường vuông góc.

- I là trung điểm của BC, nên BI = IC.
- FH vuông góc với AC tại H.
- BE vuông góc với CF tại F.

Xét tam giác vuông BCF và tam giác vuông CFH:
- Góc BCF = góc HFC (đã chứng minh ở phần c).

Do đó, đường thẳng IF là đường trung trực của BC và đi qua trung điểm I của BC. Vì H nằm trên đường thẳng này (do FH vuông góc với AC tại H), nên ba điểm I, H, F thẳng hàng.