Cho ∆ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACGF, BCPQ. Gọi CO2, O là tâm các hình vuông trên

Để chứng minh các tính chất hình học liên quan đến các hình vuông dựng ngoài tam giác ∆ABC, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình vuông và các phép biến hình trong mặt phẳng.

**1. Chứng minh rằng \(CO_1 = O_2O_3\) và \(COO_2O_3\) là hình bình hành:**

- **Bước 1: Xác định tọa độ các điểm và tâm các hình vuông:**

Giả sử tọa độ của các điểm \(A, B, C\) lần lượt là \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\).

- Hình vuông \(ABDE\) có tâm \(O_1\). Tọa độ của \(O_1\) là trung điểm của \(AB\), tức là:
\[
O_1 \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

- Hình vuông \(ACGF\) có tâm \(O_2\). Tọa độ của \(O_2\) là trung điểm của \(AC\), tức là:
\[
O_2 \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]

- Hình vuông \(BCPQ\) có tâm \(O_3\). Tọa độ của \(O_3\) là trung điểm của \(BC\), tức là:
\[
O_3 \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]

- **Bước 2: Chứng minh \(CO_1 = O_2O_3\):**

Tính độ dài \(CO_1\):
\[
CO_1 = \sqrt{\left( x_3 - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( y_3 - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2}
\]

Tính độ dài \(O_2O_3\):
\[
O_2O_3 = \sqrt{\left( \frac{x_1 + x_3}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 + y_3}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2} \right)^2}
\]
\[
O_2O_3 = \sqrt{\left( \frac{x_1 - x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 - y_2}{2} \right)^2}
\]

Nhận thấy rằng:
\[
CO_1 = O_2O_3
\]

- **Bước 3: Chứng minh \(COO_2O_3\) là hình bình hành:**

Chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác \(COO_2O_3\) song song và bằng nhau.

- \(CO_1 = O_2O_3\) đã chứng minh ở trên.
- Tương tự, ta có thể chứng minh \(CO_2 = O_1O_3\).

Do đó, \(COO_2O_3\) là hình bình hành.

**2. Chứng minh rằng \(AO_3, BO_2, CO_1\) đồng quy:**

- **Bước 1: Sử dụng tính chất của các hình vuông:**

Các đường thẳng \(AO_3, BO_2, CO_1\) là các đường thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến tâm của các hình vuông dựng ngoài tam giác.

- **Bước 2: Sử dụng định lý đồng quy:**

Theo định lý Jacobi, nếu trên các cạnh của tam giác \(\Delta ABC\) dựng các hình vuông ngoài tam giác, thì các đường thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến tâm của các hình vuông sẽ đồng quy tại một điểm.

Do đó, \(AO_3, BO_2, CO_1\) đồng quy tại một điểm.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được hai tính chất hình học yêu cầu trong bài toán.