Chúng ta sẽ giải từng phần của câu 29.

### Phần a:
Cho \( A = \frac{1}{1+3} + \frac{1}{1+3+5} + \frac{1}{1+3+5+7} + \ldots + \frac{1}{1+3+5+7+\ldots+2023} \).

Ta nhận thấy rằng các mẫu số của các phân số trong tổng A là các số lẻ liên tiếp. Tổng của n số lẻ đầu tiên là \( n^2 \). Do đó, mẫu số của phân số thứ k trong tổng A là \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k-1) = k^2 \).

Vậy ta có:
\[ A = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \]

Để chứng minh \( A < \frac{3}{4} \), ta sử dụng bất đẳng thức:
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

Ta biết rằng:
\[ \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934 \]

Vì vậy:
\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < \frac{\pi^2}{6} \]

Do đó:
\[ A < \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934 \]

Vì \( \frac{3}{4} = 0.75 \), rõ ràng \( 1.644934 > 0.75 \). Tuy nhiên, để chứng minh chặt chẽ hơn rằng \( A < \frac{3}{4} \), ta cần thêm một số bước chi tiết hơn, nhưng với cách tiếp cận này, ta có thể thấy rằng tổng của các phân số này sẽ nhỏ hơn một số giá trị cụ thể.

### Phần b:
Cho \( B = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32 - 1/64 \).

Đây là một chuỗi hình học luân phiên với công bội \( r = -\frac{1}{2} \).

Tổng của chuỗi hình học luân phiên vô hạn là:
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Trong đó \( a = \frac{1}{2} \) và \( r = -\frac{1}{2} \).

\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \]

Do đó, tổng của chuỗi vô hạn là \( \frac{1}{3} \). Vì chuỗi của chúng ta chỉ có 6 số hạng, nên tổng của nó sẽ nhỏ hơn tổng của chuỗi vô hạn.

Vậy:
\[ B < \frac{1}{3} \]

### Phần c:
Cho \( C = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} \).

Để chứng minh \( C > \frac{7}{12} \), ta sử dụng bất đẳng thức tích phân.

Ta biết rằng hàm \( f(x) = \frac{1}{x} \) là một hàm giảm. Do đó, tổng của các giá trị của hàm này từ 31 đến 60 có thể được xấp xỉ bằng tích phân của hàm này từ 31 đến 60.

\[ \int_{31}^{60} \frac{1}{x} \, dx = \ln(60) - \ln(31) = \ln\left(\frac{60}{31}\right) \]

Ta tính giá trị này:
\[ \ln\left(\frac{60}{31}\right) \approx \ln(1.935) \approx 0.660 \]

Ta cần chứng minh rằng:
\[ \ln\left(\frac{60}{31}\right) > \frac{7}{12} \]

Ta biết rằng:
\[ \frac{7}{12} \approx 0.583 \]

Vì vậy:
\[ 0.660 > 0.583 \]

Do đó:
\[ C > \frac{7}{12} \]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( C > \frac{7}{12} \).