Tìm x: ∣x + 2∣ + ∣2x + 1∣ = 4x

Để giải phương trình \(\left| x + 2 \right| + \left| 2x + 1 \right| = 4x\), ta cần xem xét các trường hợp khác nhau dựa trên giá trị của \(x\).

### Trường hợp 1: \(x \geq 0\)

1. **Nếu \(x \geq 0\)**:
- \(\left| x + 2 \right| = x + 2\)
- \(\left| 2x + 1 \right| = 2x + 1\) (vì \(2x + 1 \geq 0\) khi \(x \geq -\frac{1}{2}\))

Phương trình trở thành:
\[
(x + 2) + (2x + 1) = 4x
\]
\[
x + 2 + 2x + 1 = 4x
\]
\[
3x + 3 = 4x
\]
\[
3 = x
\]

Vậy \(x = 3\) là một nghiệm. Kiểm tra lại:
\[
\left| 3 + 2 \right| + \left| 2(3) + 1 \right| = 4(3)
\]
\[
5 + 7 = 12
\]
\[
12 = 12
\]
Đúng, vậy \(x = 3\) là nghiệm.

### Trường hợp 2: \(-\frac{1}{2} \leq x < 0\)

2. **Nếu \(-\frac{1}{2} \leq x < 0\)**:
- \(\left| x + 2 \right| = x + 2\)
- \(\left| 2x + 1 \right| = -(2x + 1)\) (vì \(2x + 1 < 0\) khi \(x < -\frac{1}{2}\))

Phương trình trở thành:
\[
(x + 2) + (-(2x + 1)) = 4x
\]
\[
x + 2 - 2x - 1 = 4x
\]
\[
-x + 1 = 4x
\]
\[
1 = 5x
\]
\[
x = \frac{1}{5}
\]

Kiểm tra lại:
\[
\left| \frac{1}{5} + 2 \right| + \left| 2\left(\frac{1}{5}\right) + 1 \right| = 4\left(\frac{1}{5}\right)
\]
\[
\left| \frac{1}{5} + 2 \right| + \left| \frac{2}{5} + 1 \right| = \frac{4}{5}
\]
\[
\left| \frac{11}{5} \right| + \left| \frac{7}{5} \right| = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{11}{5} + \frac{7}{5} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{18}{5} \neq \frac{4}{5}
\]
Vậy \(x = \frac{1}{5}\) không phải là nghiệm.

### Trường hợp 3: \(x < -2\)

3. **Nếu \(x < -2\)**:
- \(\left| x + 2 \right| = -(x + 2)\)
- \(\left| 2x + 1 \right| = -(2x + 1)\)

Phương trình trở thành:
\[
(-(x + 2)) + (-(2x + 1)) = 4x
\]
\[
-x - 2 - 2x - 1 = 4x
\]
\[
-3x - 3 = 4x
\]
\[
-3 = 7x
\]
\[
x = -\frac{3}{7}
\]

Kiểm tra lại:
\[
\left| -\frac{3}{7} + 2 \right| + \left| 2\left(-\frac{3}{7}\right) + 1 \right| = 4\left(-\frac{3}{7}\right)
\]
\[
\left| -\frac{3}{7} + \frac{14}{7} \right| + \left| -\frac{6}{7} + \frac{7}{7} \right| = -\frac{12}{7}
\]
\[
\left| \frac{11}{7} \right| + \left| \frac{1}{7} \right| = -\frac{12}{7}
\]
\[
\frac{11}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{12}{7}
\]
\[
\frac{12}{7} \neq -\frac{12}{7}
\]
Vậy \(x = -\frac{3}{7}\) không phải là nghiệm.

### Kết luận

Nghiệm duy nhất của phương trình là \(x = 3\).