Để chứng minh \( MN = \frac{1}{2} |AB - CD| \) trong hình thang \( ABCD \) (với \( AB \parallel CD \)), và \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của các đường chéo \( AC \) và \( BD \), ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và các vectơ.

1. **Gọi các điểm và vectơ:**
- Gọi \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), và \( D(x_4, y_4) \).
- Vì \( AB \parallel CD \), nên \( AB \) và \( CD \) có cùng hướng hoặc ngược hướng.

2. **Tọa độ của trung điểm:**
- Trung điểm \( M \) của \( AC \) có tọa độ:
\[
M \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]
- Trung điểm \( N \) của \( BD \) có tọa độ:
\[
N \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right)
\]

3. **Vectơ \( MN \):**
- Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) có tọa độ:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{x_2 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{(x_2 + x_4) - (x_1 + x_3)}{2}, \frac{(y_2 + y_4) - (y_1 + y_3)}{2} \right)
\]

4. **Vectơ \( AB \) và \( CD \):**
- Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) có tọa độ:
\[
\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
\]
- Vectơ \( \overrightarrow{CD} \) có tọa độ:
\[
\overrightarrow{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3)
\]

5. **Tính độ dài \( MN \):**
- Độ dài \( MN \) là:
\[
MN = \sqrt{\left( \frac{(x_2 + x_4) - (x_1 + x_3)}{2} \right)^2 + \left( \frac{(y_2 + y_4) - (y_1 + y_3)}{2} \right)^2}
\]
\[
MN = \frac{1}{2} \sqrt{((x_2 + x_4) - (x_1 + x_3))^2 + ((y_2 + y_4) - (y_1 + y_3))^2}
\]

6. **Tính độ dài \( AB - CD \):**
- Độ dài \( AB \) là:
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
- Độ dài \( CD \) là:
\[
CD = \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2}
\]
- Độ dài \( |AB - CD| \) là:
\[
|AB - CD| = \left| \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} - \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2} \right|
\]

7. **Chứng minh:**
- Ta cần chứng minh:
\[
MN = \frac{1}{2} |AB - CD|
\]
- Từ các bước trên, ta thấy rằng:
\[
MN = \frac{1}{2} \sqrt{((x_2 + x_4) - (x_1 + x_3))^2 + ((y_2 + y_4) - (y_1 + y_3))^2}
\]
- Do \( AB \parallel CD \), nên các vectơ có cùng hướng hoặc ngược hướng, và độ dài của \( MN \) sẽ bằng một nửa độ dài của hiệu giữa \( AB \) và \( CD \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN = \frac{1}{2} |AB - CD| \).