Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có trung tuyến \(AH\), \(BM\), \(CN\). Giả sử \(CM = MB = NC\), \(AO\) vuông góc với \(BC\), và \(MN\) song song với \(BC\). Ta sẽ chứng minh các tính chất và mối quan hệ trong tam giác này.

1. **Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)**:
- Điều này có nghĩa là \(AB = AC\).

2. **Trung tuyến \(AH\)**:
- \(H\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BH = HC\).

3. **Trung tuyến \(BM\) và \(CN\)**:
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\).
- \(N\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AN = NB\).

4. **\(CM = MB = NC\)**:
- Điều này có nghĩa là \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau. Do đó, \(BM = CM = \frac{BC}{3}\) và \(CN = \frac{BC}{3}\).

5. **\(AO\) vuông góc với \(BC\)**:
- \(AO\) là đường cao từ đỉnh \(A\) xuống \(BC\).

6. **\(MN\) song song với \(BC\)**:
- Do \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau, và \(MN\) song song với \(BC\), ta có thể sử dụng định lý Thales để chứng minh rằng \(MN = \frac{BC}{3}\).

Từ các điều kiện trên, ta có thể suy ra một số hệ quả:

- Tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) là các tam giác cân tại \(M\) và \(N\) tương ứng.
- Đoạn \(MN\) là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của tam giác cân, do đó \(MN\) song song với \(BC\) và bằng một nửa \(BC\).

Tóm lại, các tính chất và mối quan hệ trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với các điều kiện đã cho là:
- \(AB = AC\).
- \(H\) là trung điểm của \(BC\).
- \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau.
- \(AO\) vuông góc với \(BC\).
- \(MN\) song song với \(BC\) và bằng một nửa \(BC\).