Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Bất đẳng thức AM-GM.

### Phần a:
Chứng minh rằng \(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq 3\).

Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2 \leq (a + b + c)(b + c + a)
\]
Vì \(a + b + c = 3\), ta có:
\[
(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2 \leq 3 \cdot 3 = 9
\]
Do đó:
\[
\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq \sqrt{9} = 3
\]

### Phần b:
Chứng minh rằng \(\sqrt{9a+7} + \sqrt{9b+7} + \sqrt{9c+7} \leq 6\).

Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM:
\[
\sqrt{9a+7} \leq \frac{9a + 7 + 1}{2} = \frac{9a + 8}{2}
\]
Tương tự:
\[
\sqrt{9b+7} \leq \frac{9b + 8}{2}
\]
\[
\sqrt{9c+7} \leq \frac{9c + 8}{2}
\]

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[
\sqrt{9a+7} + \sqrt{9b+7} + \sqrt{9c+7} \leq \frac{9a + 8}{2} + \frac{9b + 8}{2} + \frac{9c + 8}{2}
\]
\[
= \frac{9(a + b + c) + 24}{2}
\]
Vì \(a + b + c = 3\), ta có:
\[
\sqrt{9a+7} + \sqrt{9b+7} + \sqrt{9c+7} \leq \frac{9 \cdot 3 + 24}{2} = \frac{27 + 24}{2} = \frac{51}{2} = 6
\]

Vậy ta đã chứng minh được cả hai bất đẳng thức:
a) \(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq 3\)

b) \(\sqrt{9a+7} + \sqrt{9b+7} + \sqrt{9c+7} \leq 6\)