Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

a) \(\frac{1}{4} + \frac{7}{4} \cdot x = \frac{5}{6}\)

Đầu tiên, ta cộng hai phân số ở bên trái:
\[
\frac{1}{4} + \frac{7}{4} \cdot x = \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1 + 7x}{4} = \frac{5}{6}
\]

Sau đó, nhân cả hai vế với 12 để loại bỏ mẫu số:
\[
12 \cdot \frac{1 + 7x}{4} = 12 \cdot \frac{5}{6}
\]
\[
3(1 + 7x) = 10
\]

Giải phương trình:
\[
3 + 21x = 10
\]
\[
21x = 7
\]
\[
x = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}
\]

b) \((x + \frac{5}{2})(x - \frac{2}{3}) = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm:
\[
x + \frac{5}{2} = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - \frac{2}{3} = 0
\]

Giải từng phương trình:
\[
x = -\frac{5}{2}
\]
\[
x = \frac{2}{3}
\]

c) \(\frac{1}{4} - x + \frac{4}{7} = \frac{1}{6} - x - \frac{3}{7}\)

Đầu tiên, ta cộng các phân số ở cả hai vế:
\[
\frac{1}{4} + \frac{4}{7} - x = \frac{1}{6} - x - \frac{3}{7}
\]

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) sang một bên và các hạng tử không chứa \(x\) sang bên kia:
\[
\frac{1}{4} + \frac{4}{7} - \frac{1}{6} + \frac{3}{7} = 0
\]

Tính toán các phân số:
\[
\frac{1}{4} + \frac{4}{7} + \frac{3}{7} - \frac{1}{6} = 0
\]
\[
\frac{1}{4} + \frac{7}{7} - \frac{1}{6} = 0
\]
\[
\frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{6} = 0
\]

Tìm mẫu số chung và tính toán:
\[
\frac{3}{12} + 1 - \frac{2}{12} = 0
\]
\[
\frac{1}{12} + 1 = 0
\]

Phương trình này không có nghiệm.

d) \((3x + \frac{1}{5})^2 - \frac{16}{25} = 0\)

Đặt \(y = 3x + \frac{1}{5}\), ta có:
\[
y^2 - \frac{16}{25} = 0
\]

Giải phương trình:
\[
y^2 = \frac{16}{25}
\]
\[
y = \pm \frac{4}{5}
\]

Thay lại \(y = 3x + \frac{1}{5}\):
\[
3x + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad 3x + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}
\]

Giải từng phương trình:
\[
3x = \frac{4}{5} - \frac{1}{5}
\]
\[
3x = \frac{3}{5}
\]
\[
x = \frac{1}{5}
\]

Và:
\[
3x = -\frac{4}{5} - \frac{1}{5}
\]
\[
3x = -\frac{5}{5}
\]
\[
x = -\frac{1}{3}
\]

e) \(\frac{x+1}{2} + \frac{x+1}{3} = \frac{x+1}{4} + \frac{x+1}{5}\)

Đặt \(y = x + 1\), ta có:
\[
\frac{y}{2} + \frac{y}{3} = \frac{y}{4} + \frac{y}{5}
\]

Nhân cả hai vế với 60 để loại bỏ mẫu số:
\[
60 \cdot \left(\frac{y}{2} + \frac{y}{3}\right) = 60 \cdot \left(\frac{y}{4} + \frac{y}{5}\right)
\]
\[
30y + 20y = 15y + 12y
\]
\[
50y = 27y
\]

Giải phương trình:
\[
50y - 27y = 0
\]
\[
23y = 0
\]
\[
y = 0
\]

Thay lại \(y = x + 1\):
\[
x + 1 = 0
\]
\[
x = -1
\]