Dưới đây là lời giải cho các bài toán trong ảnh:

**Bài 1:**
Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu 3 bài tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu một số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu 0 bài).

**Giải:**
Gọi \( x_i \) là số bài tập mà học sinh thứ \( i \) thiếu, với \( i = 1, 2, ..., 50 \). Ta có \( x_i \) là các số nguyên từ 0 đến 3. Do chỉ có duy nhất một học sinh thiếu 3 bài tập, nên có 49 học sinh thiếu từ 0 đến 2 bài tập.

Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta chia 49 học sinh vào 3 nhóm (thiếu 0, 1, hoặc 2 bài tập), thì ít nhất một nhóm phải có ít nhất \( \lceil \frac{49}{3} \rceil = 17 \) học sinh. Do đó, tồn tại ít nhất 17 học sinh thiếu cùng một số bài tập.

**Bài 2:**
Trong một phòng họp có \( n \) người. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

**Giải:**
Gọi \( n \) là số người trong phòng họp. Mỗi người có thể quen từ 0 đến \( n-1 \) người khác. Nếu mỗi người có số người quen khác nhau, thì số người quen của họ sẽ là các số từ 0 đến \( n-1 \). Tuy nhiên, nếu có một người quen 0 người, thì không thể có người quen \( n-1 \) người, vì người đó sẽ quen tất cả mọi người, mâu thuẫn với việc có người quen 0 người. Do đó, chỉ có thể có tối đa \( n-1 \) số người quen khác nhau trong \( n \) người. Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất phải có hai người có số người quen bằng nhau.

**Bài 3:**
Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

**Giải:**
Gọi nhóm 6 người là \( A, B, C, D, E, F \). Xét người \( A \). Trong 5 người còn lại, có ít nhất 3 người có quan hệ giống nhau với \( A \) (theo nguyên lý Dirichlet). Giả sử 3 người đó là \( B, C, D \) và họ đều là bạn của \( A \).

- Nếu \( B \) và \( C \) là bạn của nhau, thì \( A, B, C \) là một nhóm 3 người bạn lẫn nhau.
- Nếu \( B \) và \( C \) là thù của nhau, thì xét \( D \):
- Nếu \( D \) là bạn của \( B \) hoặc \( C \), thì ta có một nhóm 3 người bạn lẫn nhau.
- Nếu \( D \) là thù của \( B \) và \( C \), thì \( B, C, D \) là một nhóm 3 người thù lẫn nhau.

Do đó, trong nhóm 6 người luôn tồn tại một nhóm 3 người là bạn lẫn nhau hoặc thù lẫn nhau.

**Bài 4:**
Cho \( k \) là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên có dạng \( 1011^k - 1 \) chia hết cho 2024.

**Giải:**
Ta có \( 1011 \equiv -1 \pmod{2024} \). Do đó, \( 1011^k \equiv (-1)^k \pmod{2024} \).

- Nếu \( k \) là số chẵn, thì \( (-1)^k = 1 \), do đó \( 1011^k - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{2024} \).

Vậy với \( k \) là số chẵn, \( 1011^k - 1 \) chia hết cho 2024.

**Bài 5:**
Chứng minh rằng trong 1013 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2023.

**Giải:**
Gọi các số tự nhiên đó là \( a_1, a_2, ..., a_{1013} \). Xét các số dư khi chia các số này cho 2023, ta có các số dư từ 0 đến 2022. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 1013 số có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2023, tức là \( a_i \equiv a_j \pmod{2023} \) với \( i \neq j \).

Do đó, \( a_i - a_j \equiv 0 \pmod{2023} \), tức là hiệu của chúng chia hết cho 2023.