Để chứng minh bất đẳng thức \(AB + BC + CD + DA > \frac{AC + BD}{2}\) cho tứ giác ABCD, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác và một số bất đẳng thức cơ bản khác. Dưới đây là một cách chứng minh:

1. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác:**

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Áp dụng điều này cho các tam giác trong tứ giác ABCD.

- Trong tam giác \(ABC\):
\[
AB + BC > AC
\]

- Trong tam giác \(CDA\):
\[
CD + DA > AC
\]

- Trong tam giác \(ABD\):
\[
AB + BD > AD
\]

- Trong tam giác \(BCD\):
\[
BC + CD > BD
\]

2. **Kết hợp các bất đẳng thức:**

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[
(AB + BC) + (CD + DA) > AC + AC \quad \text{(1)}
\]
\[
(AB + BD) + (BC + CD) > AD + BD \quad \text{(2)}
\]

Từ (1), ta có:
\[
AB + BC + CD + DA > 2AC
\]

Từ (2), ta có:
\[
AB + BC + CD + DA > 2BD
\]

3. **So sánh với \(\frac{AC + BD}{2}\):**

Ta cần chứng minh:
\[
AB + BC + CD + DA > \frac{AC + BD}{2}
\]

Từ các bất đẳng thức trên, ta thấy rằng:
\[
AB + BC + CD + DA > 2AC \quad \text{và} \quad AB + BC + CD + DA > 2BD
\]

Vì vậy, ta có:
\[
AB + BC + CD + DA > \frac{2AC + 2BD}{2} = AC + BD
\]

Do đó:
\[
AB + BC + CD + DA > \frac{AC + BD}{2}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức \(AB + BC + CD + DA > \frac{AC + BD}{2}\) cho tứ giác ABCD.