Cho tam giác \( \triangle ABC \) với trung tuyến \( AM \). Qua điểm \( D \) thuộc cạnh \( BC \), vẽ đường thẳng song song với \( AM \) lần lượt cắt \( AB \) tại \( E \) và cắt \( AC \) tại \( F \).

Chứng minh:

a) \( \triangle BDE \) đồng dạng với \( \triangle BMA \)

b) \( \frac{AM}{DF} = \frac{CM}{CD} \)

**Chứng minh:**

a) Chứng minh \( \triangle BDE \) đồng dạng với \( \triangle BMA \):

Vì \( DE \parallel AM \) nên theo định lý đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có:

\[
\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BM}
\]

Do \( AM \) là trung tuyến của \( \triangle ABC \), nên \( M \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, \( BM = MC \).

Xét hai tam giác \( \triangle BDE \) và \( \triangle BMA \):

- \( \angle BDE = \angle BMA \) (vì \( DE \parallel AM \) và cùng cắt \( AB \))
- \( \angle DBE = \angle MBA \) (góc chung)

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có \( \triangle BDE \) đồng dạng với \( \triangle BMA \).

b) Chứng minh \( \frac{AM}{DF} = \frac{CM}{CD} \):

Vì \( DE \parallel AM \) và \( DF \parallel AM \), nên \( DE \parallel DF \).

Xét hai tam giác \( \triangle ADF \) và \( \triangle AMC \):

- \( \angle ADF = \angle AMC \) (vì \( DF \parallel AM \))
- \( \angle AFD = \angle ACM \) (vì \( DF \parallel AM \))

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có \( \triangle ADF \) đồng dạng với \( \triangle AMC \).

Từ đó, ta có:

\[
\frac{AD}{AM} = \frac{DF}{MC}
\]

Do \( AM \) là trung tuyến của \( \triangle ABC \), nên \( M \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, \( BM = MC \).

Vì \( D \) thuộc cạnh \( BC \), ta có:

\[
AD = CD
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AD}{AM} = \frac{DF}{MC} \implies \frac{CD}{AM} = \frac{DF}{MC}
\]

Suy ra:

\[
\frac{AM}{DF} = \frac{MC}{CD}
\]

Vì \( MC = CM \), nên ta có:

\[
\frac{AM}{DF} = \frac{CM}{CD}
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( \frac{AM}{DF} = \frac{CM}{CD} \).