Để chứng minh rằng \(\cot B = 3 \cot C\) trong tam giác \(ABC\) với trung tuyến \(AM\) và \(AM = AC\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Sử dụng tính chất của trung tuyến:**
Trung tuyến \(AM\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác \(ABM\) và \(AMC\) có diện tích bằng nhau và \(AM = AC\).

2. **Sử dụng định lý cosin:**
Trong tam giác \(ABC\), áp dụng định lý cosin cho cạnh \(AB\):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos B
\]
Vì \(AM = AC\), ta có:
\[
AB^2 = AM^2 + BC^2 - 2 \cdot AM \cdot BC \cdot \cos B
\]

3. **Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(AMC\):**
\[
AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 \cdot AM \cdot MC \cdot \cos C
\]
Vì \(AM = AC\), ta có:
\[
AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 \cdot AM \cdot MC \cdot \cos C
\]

4. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
Vì \(AM = AC\), tam giác \(AMC\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, \(\angle MAC = \angle MCA\).

5. **Sử dụng định lý cotang:**
Trong tam giác \(ABC\), ta có:
\[
\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S}
\]
\[
\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}
\]
Trong đó \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\).

6. **Sử dụng tính chất của trung tuyến:**
Trung tuyến \(AM\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, do đó:
\[
S_{ABM} = S_{AMC} = \frac{S_{ABC}}{2}
\]

7. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác:**
Từ các bước trên, ta có thể suy ra rằng:
\[
\cot B = 3 \cot C
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\cot B = 3 \cot C\).