Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi M là trung điểm của CD. AM cắt BD tại I, BM cắt AC tại K.

a. Chứng minh \(\frac{IM}{IA} = \frac{KM}{KB}\)

Ta có M là trung điểm của CD, do đó \(CM = MD\).

Xét tam giác \(ACD\) với M là trung điểm của CD, đường thẳng AM là đường trung tuyến. Theo định lý đường trung tuyến, AM chia tam giác ACD thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng AM cắt BD tại I. Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với đường thẳng AM cắt BD tại I, ta có:

\[
\frac{IM}{IA} \cdot \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1
\]

Vì M là trung điểm của CD, nên \(AD = DB\) và \(BM = MA\). Do đó:

\[
\frac{IM}{IA} \cdot 1 \cdot 1 = 1 \implies \frac{IM}{IA} = 1
\]

Tương tự, xét tam giác \(ABC\) với đường thẳng BM cắt AC tại K. Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABC\) với đường thẳng BM cắt AC tại K, ta có:

\[
\frac{KM}{KB} \cdot \frac{BC}{CA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

Vì M là trung điểm của CD, nên \(BC = CA\) và \(AM = MB\). Do đó:

\[
\frac{KM}{KB} \cdot 1 \cdot 1 = 1 \implies \frac{KM}{KB} = 1
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{IM}{IA} = \frac{KM}{KB}
\]

b. Chứng minh \(IK \parallel AB \parallel CD\)

Ta đã biết rằng M là trung điểm của CD và AM là đường trung tuyến trong tam giác ACD. Do đó, AM chia tam giác ACD thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng AM cắt BD tại I. Theo định lý đường trung tuyến, AM chia tam giác ABD thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Tương tự, xét tam giác \(ABC\) với đường thẳng BM cắt AC tại K. Theo định lý đường trung tuyến, BM chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Do đó, I và K là các điểm chia các cạnh của tam giác ABD và tam giác ABC theo tỉ lệ bằng nhau. Điều này có nghĩa là đường thẳng IK song song với AB và CD.

Vậy ta có:

\[
IK \parallel AB \parallel CD
\]

Kết luận:

a. \(\frac{IM}{IA} = \frac{KM}{KB}\)

b. \(IK \parallel AB \parallel CD\)