Để tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất và số tự nhiên khác 0 lớn nhất có 4 chữ số sao cho khi chia số đó cho 30 thì dư 17, chia 40 thì dư 27 và chia cho 50 thì dư 37, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

\[
\begin{cases}
x \equiv 17 \pmod{30} \\
x \equiv 27 \pmod{40} \\
x \equiv 37 \pmod{50}
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta biểu diễn các phương trình đồng dư dưới dạng tổng quát:
\[
x = 30k + 17 \quad (1)
\]
\[
x = 40m + 27 \quad (2)
\]
\[
x = 50n + 37 \quad (3)
\]

Từ (1) và (2), ta có:
\[
30k + 17 \equiv 27 \pmod{40}
\]
\[
30k \equiv 10 \pmod{40}
\]
\[
3k \equiv 1 \pmod{4}
\]

Giải phương trình đồng dư này, ta thấy \(k \equiv 3 \pmod{4}\), tức là \(k = 4t + 3\) với \(t\) là số nguyên.

Thay \(k = 4t + 3\) vào (1):
\[
x = 30(4t + 3) + 17 = 120t + 107 \quad (4)
\]

Tiếp theo, từ (3) và (4), ta có:
\[
120t + 107 \equiv 37 \pmod{50}
\]
\[
120t \equiv -70 \pmod{50}
\]
\[
20t \equiv -20 \pmod{50}
\]
\[
20t \equiv 30 \pmod{50}
\]

Chia cả hai vế cho 10:
\[
2t \equiv 3 \pmod{5}
\]

Giải phương trình đồng dư này, ta thấy \(t \equiv 4 \pmod{5}\), tức là \(t = 5u + 4\) với \(u\) là số nguyên.

Thay \(t = 5u + 4\) vào (4):
\[
x = 120(5u + 4) + 107 = 600u + 587
\]

Vậy \(x = 600u + 587\).

Để \(x\) là số tự nhiên có 4 chữ số, ta có:
\[
1000 \leq 600u + 587 \leq 9999
\]

Giải bất phương trình:
\[
1000 \leq 600u + 587 \implies 413 \leq 600u \implies u \geq \frac{413}{600} \approx 0.6883 \implies u \geq 1
\]
\[
600u + 587 \leq 9999 \implies 600u \leq 9412 \implies u \leq \frac{9412}{600} \approx 15.6867 \implies u \leq 15
\]

Vậy \(u\) có thể nhận các giá trị từ 1 đến 15.

- Với \(u = 1\):
\[
x = 600 \cdot 1 + 587 = 1187
\]

- Với \(u = 15\):
\[
x = 600 \cdot 15 + 587 = 9587
\]

Vậy số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất có 4 chữ số là 1187 và số tự nhiên khác 0 lớn nhất có 4 chữ số là 9587.