Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC với các cạnh AB = 15 cm và AC = 20 cm, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

**a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA:**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[ \angle BAC = 90^\circ \]

Đường cao AH từ A vuông góc với BC, nên:
\[ \angle AHB = 90^\circ \]

Xét tam giác ABC và tam giác HBA:
- \(\angle BAC = \angle BAH = 90^\circ\)
- \(\angle ABC\) là góc chung

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[ \triangle ABC \sim \triangle HBA \]

**b) Tính độ dài các đoạn AH, DA, DC:**

Đầu tiên, ta tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]

Để tính độ dài đoạn AH, ta sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm} \]

Tiếp theo, ta tính độ dài đoạn DA và DC. Vì BD là đường phân giác của tam giác ABC, ta có:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \]

Gọi \(AD = x\) và \(DC = y\), ta có:
\[ x + y = BC = 25 \text{ cm} \]
\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \]

Giải hệ phương trình:
\[ x = \frac{3}{4}y \]
\[ x + y = 25 \]

Thay \(x = \frac{3}{4}y\) vào phương trình thứ hai:
\[ \frac{3}{4}y + y = 25 \]
\[ \frac{7}{4}y = 25 \]
\[ y = \frac{25 \cdot 4}{7} = \frac{100}{7} \approx 14.29 \text{ cm} \]
\[ x = \frac{3}{4} \cdot \frac{100}{7} = \frac{75}{7} \approx 10.71 \text{ cm} \]

Vậy:
\[ AD \approx 10.71 \text{ cm} \]
\[ DC \approx 14.29 \text{ cm} \]

**c) Chứng minh: \( S_{ABC} = 4S_{KDC} \)**

Diện tích tam giác ABC:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2 \]

Diện tích tam giác KDC:
\[ S_{KDC} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot KC \]

Vì DK vuông góc với BC tại K, DK là đường cao của tam giác KDC. Ta cần tính DK và KC.

Do DK vuông góc với BC tại K, DK là đoạn thẳng từ D đến BC. Vì D nằm trên đường phân giác BD, DK chia BC thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh AB và AC. Ta có:
\[ DK = \frac{2 \cdot AD \cdot DC}{AD + DC} = \frac{2 \cdot 10.71 \cdot 14.29}{10.71 + 14.29} = \frac{2 \cdot 10.71 \cdot 14.29}{25} \approx 12 \text{ cm} \]

Do đó:
\[ S_{KDC} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot KC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14.29 \approx 37.5 \text{ cm}^2 \]

Vậy:
\[ S_{ABC} = 4S_{KDC} \approx 4 \cdot 37.5 = 150 \text{ cm}^2 \]

Điều này chứng minh rằng:
\[ S_{ABC} = 4S_{KDC} \]