Để tìm \( x \) thuộc tập hợp các số nguyên \( \mathbb{Z} \) sao cho \( 5x + 1 \) chia hết cho \( x - 2 \), ta cần giải phương trình sau:

\[ 5x + 1 \equiv 0 \pmod{x - 2} \]

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[ 5x + 1 = k(x - 2) \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ 5x + 1 = kx - 2k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử không chứa \( x \) về vế còn lại:

\[ 5x - kx = -2k - 1 \]

\[ x(5 - k) = -2k - 1 \]

Để \( x \) là một số nguyên, \( 5 - k \) phải là một ước của \( -2k - 1 \). Ta sẽ thử các giá trị khác nhau của \( k \) để tìm các giá trị của \( x \).

1. **Trường hợp \( k = 1 \):**

\[ x(5 - 1) = -2(1) - 1 \]

\[ 4x = -3 \]

\[ x = -\frac{3}{4} \]

\( x \) không phải là số nguyên trong trường hợp này.

2. **Trường hợp \( k = 2 \):**

\[ x(5 - 2) = -2(2) - 1 \]

\[ 3x = -4 - 1 \]

\[ 3x = -5 \]

\[ x = -\frac{5}{3} \]

\( x \) không phải là số nguyên trong trường hợp này.

3. **Trường hợp \( k = 3 \):**

\[ x(5 - 3) = -2(3) - 1 \]

\[ 2x = -6 - 1 \]

\[ 2x = -7 \]

\[ x = -\frac{7}{2} \]

\( x \) không phải là số nguyên trong trường hợp này.

4. **Trường hợp \( k = 4 \):**

\[ x(5 - 4) = -2(4) - 1 \]

\[ x = -8 - 1 \]

\[ x = -9 \]

\( x = -9 \) là số nguyên.

5. **Trường hợp \( k = 5 \):**

\[ x(5 - 5) = -2(5) - 1 \]

\[ 0 = -10 - 1 \]

\[ 0 = -11 \]

Điều này là vô lý, do đó không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn trong trường hợp này.

6. **Trường hợp \( k = 6 \):**

\[ x(5 - 6) = -2(6) - 1 \]

\[ x(-1) = -12 - 1 \]

\[ -x = -13 \]

\[ x = 13 \]

\( x = 13 \) là số nguyên.

Tóm lại, các giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) thỏa mãn điều kiện \( 5x + 1 \) chia hết cho \( x - 2 \) là:

\[ x = -9 \text{ và } x = 13 \]