Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác trong tam giác.

a/ Tính đường cao CH và cạnh AC:

1. Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC:
\[ \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \]

Trong đó:
- \( BC = 12 \) cm
- \( \angle ABC = 60^\circ \)
- \( \angle ACB = 40^\circ \)
- \( \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ \)

Áp dụng định lý sin:
\[ \frac{12}{\sin(80^\circ)} = \frac{AC}{\sin(60^\circ)} \]

Ta có:
\[ AC = \frac{12 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(80^\circ)} \]

Sử dụng giá trị gần đúng của các hàm sin:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
\[ \sin(80^\circ) \approx 0.985 \]

Do đó:
\[ AC = \frac{12 \cdot 0.866}{0.985} \approx 10.55 \text{ cm} \]

2. Tính đường cao CH:
\[ CH = AC \cdot \sin(40^\circ) \]

Sử dụng giá trị gần đúng của sin:
\[ \sin(40^\circ) \approx 0.643 \]

Do đó:
\[ CH = 10.55 \cdot 0.643 \approx 6.79 \text{ cm} \]

b/ Tính diện tích tam giác ABC:

Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CH \]

Thay các giá trị đã tính:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6.79 \approx 40.74 \text{ cm}^2 \]

Vậy:
a/ Đường cao CH khoảng 6.79 cm và cạnh AC khoảng 10.55 cm.
b/ Diện tích tam giác ABC khoảng 40.74 cm².