Cho tam giác \( \Delta ACE \) vuông cân tại \( C \) có \( AC = 4 \) cm. Các đường trung tuyến \( AD \) và \( EB \) cắt nhau tại \( G \).

a/ Tính \( AD \) và \( BE \):

Vì tam giác \( \Delta ACE \) vuông cân tại \( C \) nên \( AC = CE = 4 \) cm.

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông cân sẽ bằng nửa cạnh huyền. Do đó, ta cần tính cạnh huyền \( AE \):

\[ AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{cm} \]

Đường trung tuyến \( AD \) ứng với cạnh huyền \( AE \):

\[ AD = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{cm} \]

Đường trung tuyến \( EB \) ứng với cạnh \( AC \):

Vì \( E \) là trung điểm của \( AC \), nên \( EB \) là đường trung tuyến của tam giác vuông cân \( \Delta ACE \) tại \( C \):

\[ EB = \sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2 + CE^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \]

b/ Tính số đo \( \angle DAC \) và \( \angle BGD \):

Vì tam giác \( \Delta ACE \) vuông cân tại \( C \), nên các góc \( \angle DAC \) và \( \angle BGD \) có thể được tính như sau:

- \( \angle DAC \) là góc giữa đường trung tuyến \( AD \) và cạnh \( AC \). Vì \( AD \) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông cân, nên nó chia góc \( \angle A \) thành hai góc bằng nhau:

\[ \angle DAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \times 45^\circ = 22.5^\circ \]

- \( \angle BGD \) là góc giữa hai đường trung tuyến \( AD \) và \( EB \). Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác, nên nó chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1. Do đó, góc \( \angle BGD \) là góc giữa hai đường trung tuyến trong tam giác vuông cân:

\[ \angle BGD = 90^\circ \]

Vậy:
- \( AD = 2\sqrt{2} \, \text{cm} \)
- \( BE = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \)
- \( \angle DAC = 22.5^\circ \)
- \( \angle BGD = 90^\circ \)