Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

### a) Chứng minh tam giác ADE cân

Giả sử tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \). Ta có \( BE \perp AC \) tại \( E \) và \( CD \perp AB \) tại \( D \).

Xét tam giác \( \triangle ADE \):

- \( BE \perp AC \) tại \( E \) nên \( \angle AEB = 90^\circ \).
- \( CD \perp AB \) tại \( D \) nên \( \angle ADC = 90^\circ \).

Do \( AB = AC \) và \( \angle AEB = \angle ADC = 90^\circ \), ta có \( AE = AD \) (vì \( E \) và \( D \) là chân đường cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \) tương ứng).

Vậy tam giác \( \triangle ADE \) cân tại \( A \).

### b) Chứng minh \( AH \) là phân giác của góc \( \angle BAC \)

Giả sử \( BE \) cắt \( BC \) tại \( H \).

Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle AEC \):

- \( BE \perp AC \) tại \( E \) nên \( \angle AEB = 90^\circ \).
- \( AB = AC \) (tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \)).

Do đó, \( \triangle ABE \) và \( \triangle AEC \) là hai tam giác vuông cân tại \( A \).

Vì \( H \) là giao điểm của \( BE \) và \( BC \), nên \( H \) nằm trên đường trung trực của \( AC \) (vì \( BE \) là đường cao từ \( B \) xuống \( AC \)).

Do đó, \( AH \) là đường trung trực của \( AC \), mà đường trung trực của \( AC \) trong tam giác cân \( \triangle ABC \) cũng là phân giác của góc \( \angle BAC \).

Vậy \( AH \) là phân giác của góc \( \angle BAC \).

### c) Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Xét tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \):

- \( BE \perp AC \) tại \( E \).
- \( CD \perp AB \) tại \( D \).

Ta đã chứng minh \( \triangle ADE \) cân tại \( A \), tức là \( AE = AD \).

Do \( BE \perp AC \) và \( CD \perp AB \), ta có \( \angle ADE = \angle AEB = 90^\circ \).

Vì \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), nên \( \angle BAC = 2 \times \angle BAE \).

Do đó, \( \angle ADE = \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle BAC = 2 \times \angle BAE \).

Suy ra, \( DE \parallel BC \) vì \( DE \) và \( BC \) đều vuông góc với \( AB \).

Vậy \( DE \parallel BC \).