Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương và các kiến thức về bất đẳng thức.

### a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 6x + 7 \)

1. **Hoàn thành bình phương**:
\[
A = x^2 + 6x + 7
\]
Ta có thể viết lại \( A \) như sau:
\[
A = (x^2 + 6x + 9) - 2 = (x + 3)^2 - 2
\]

2. **Xác định giá trị nhỏ nhất**:
- Biểu thức \((x + 3)^2\) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \(x + 3 = 0\) hay \(x = -3\).
- Khi \(x = -3\), ta có:
\[
A = 0 - 2 = -2
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \(-2\) và đạt được khi \( x = -3 \).

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = x^2 + y^2 + 2xy - 2(x+y) + 3 \)

1. **Sắp xếp lại biểu thức**:
\[
B = x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 2y + 3
\]
Ta nhận thấy rằng \(x^2 + 2xy + y^2\) có thể viết lại thành \((x + y)^2\):
\[
B = (x + y)^2 - 2(x + y) + 3
\]

2. **Đặt \( z = x + y \)**:
\[
B = z^2 - 2z + 3
\]

3. **Hoàn thành bình phương**:
\[
B = (z^2 - 2z + 1) + 2 = (z - 1)^2 + 2
\]

4. **Xác định giá trị nhỏ nhất**:
- Biểu thức \((z - 1)^2\) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \(z - 1 = 0\) hay \(z = 1\).
- Khi \(z = 1\), ta có:
\[
B = 0 + 2 = 2
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \) là \(2\) và đạt được khi \(x + y = 1\).

### Kết luận:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \(-2\) (khi \( x = -3 \)).
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \(2\) (khi \( x + y = 1 \)).