Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các điều kiện đưa ra trong đề bài.

Cho hai điều kiện:

1. \( 350 \mod a = 14 \)
2. \( 320 \mod a = 26 \)

Dựa trên điều kiện thứ nhất, ta có thể viết:

\[
350 - 14 = 336
\]
Điều này có nghĩa là \( 336 \) chia hết cho \( a \) (hay \( a \) là ước của \( 336 \)).

Điều kiện thứ hai cho ta:

\[
320 - 26 = 294
\]
Điều này có nghĩa là \( 294 \) cũng chia hết cho \( a \) (hay \( a \) là ước của \( 294 \)).

Vì vậy, \( a \) phải là một ước chung của \( 336 \) và \( 294 \).

Bước tiếp theo là tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \( 336 \) và \( 294 \):

1. Phân tích 336 ra thừa số nguyên tố:
\[
336 = 2^4 \times 3 \times 7
\]

2. Phân tích 294 ra thừa số nguyên tố:
\[
294 = 2 \times 3 \times 7^2
\]

Bây giờ, ta tìm ƯCLN bằng cách lấy các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất:

\[
\text{ƯCLN}(336, 294) = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42
\]

Vậy ƯCLN của \( 336 \) và \( 294 \) là \( 42 \).

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra \( a \) có thể là:

1. \( a = 1 \)
2. \( a = 2 \)
3. \( a = 3 \)
4. \( a = 6 \)
5. \( a = 7 \)
6. \( a = 14 \)
7. \( a = 21 \)
8. \( a = 28 \)
9. \( a = 42 \)

Chúng ta lần lượt kiểm tra các giá trị này để xem chúng có thỏa mãn cả hai điều kiện.

1. Với \( a = 42 \):
- \( 350 \div 42 = 8\) dư \(14\) (đúng)
- \( 320 \div 42 = 7\) dư \(26\) (đúng)

Như vậy, số tự nhiên thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{42}
\]