Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác AEMF là hình gì?
Tứ giác AEMF có các điểm:
- A là đỉnh
- E là giao điểm giữa đoạn MH và AB.
- M là trung điểm của đoạn BC.
- F là giao điểm giữa đoạn MK và AC.

Trong tam giác vuông ABC tại A, chúng ta có AB vuông góc với AC. Điểm H là đối xứng của M qua AB, nên MH vuông góc với AB. Tương tự, K là đối xứng của M qua AC nên MK vuông góc với AC. Do đó, tứ giác AEMF có các đường chéo (AE và MF) vuông góc với nhau.

Tuy nhiên, để tứ giác AEMF là hình vuông, nó cần có đặc điểm các cạnh bằng nhau. Do M là trung điểm của BC, hai đoạn AM và MF (cũng là MH) sẽ có chiều dài bằng nhau. Vì vậy, AEMF có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông tùy thuộc vào độ dài của các cạnh.

Do đó, tứ giác AEMF là hình chữ nhật, và trong một số điều kiện cụ thể (nếu cạnh AM = EF), nó sẽ là hình vuông.

### b) Tứ giác AMBH là hình gì?
Tứ giác AMBH cũng chứa các điểm có ý nghĩa đặc biệt:
- A là một đỉnh.
- M là trung điểm của BC.
- B là một đỉnh của tam giác.
- H là điểm đối xứng của M qua AB.

Do AM và BH vuông góc với nhau (AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông), kết hợp với việc H là một điểm đối xứng qua AB, ta thấy AMBH sẽ cũng là một hình chữ nhật, và đặc biệt hơn trong trường hợp đó là hình vuông nếu tất cả các cạnh đều bằng nhau.

### c) Chứng minh H đối xứng với K qua A.
Để chứng minh H và K đối xứng nhau qua A, ta sẽ sử dụng các tính chất đối xứng.
- Ta biết rằng H là điểm đối xứng của M qua AB, nghĩa là MH vuông góc với AB và AH = AM.
- K lại là điểm đối xứng của M qua AC, nghĩa là MK vuông góc với AC và AK = AM.

Khi đó, ta có AH = AM và AK = AM, từ đó Rút ra AH + AK = AM + AM.

Bởi vì M là trung điểm, H và K phải ở hai phía khác nhau của A với khoảng cách bằng nhau từ A. Điều này nghĩa rằng nếu ta kéo dài MH và MK thì chúng giao nhau tại A, và từ đó ta có thể kết luận rằng H và K đối xứng qua A.

### d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác AEMF là hình vuông?
Để tứ giác AEMF trở thành hình vuông, cần có điều kiện rằng các đoạn AE = EF = AM. Trong trường hợp này, điều kiện cần thêm là các góc tại E và F phải là 90 độ. Cách dễ nhất để đảm bảo điều này là tam giác ABC cần phải có các cạnh AD = BC, và PQ theo hướng độ dài, tức là đoạn AB và AC cần bằng nhau.

Chúng ta cũng có thể yêu cầu rằng AM phải bằng ½ chiều dài của AB = AC sao cho tứ giác AEMF trở thành hình vuông. Tóm lại, các điều kiện để tứ giác AEMF trở thành hình vuông là:
- AB = AC (tam giác đều) hoặc các đoạn AM và EF cần phải bằng với nhau và vuông góc tại A.